Inferenzstatistik

Ordinalskalierte Daten

U-Test von Mann-Whitney (unabhängige Stichproben)

Was prüft der U-Test?

  • Der U-Test prüft ob zwischen zwei Stichproben (unabhängige) bezüglich einer abhängigen Variable signifikante Unterschiede vorhanden sind.
  • Beispiel: Es soll geprüft werden, ob eine Gruppe von Psychologie-Studenten (mit Lerngruppe) besser in Tests abschneidet, als eine zweite Gruppe von Psychologie-Studenten (ohne Lerngruppe).

Vorgehen

  • Als erstes müssen die Messwerte beider Stichproben in eine gemeinsame Rangreihe gebracht werden, d.h. jedem Messwert muss ein Rangplatz zugeordnet werden.
Beispiel

Gruppe 1

(mit Lerngruppe)

Gruppe 2

(ohne Lerngruppe)

Rang
30
1
29 2
  28 3
27   4
26   5
  25 6
  24 7
23 8
22   9
21   10
20 11
19 12
  18 13
17   14
16   15
  15 16
14 17
13 18
12 19
  • Die höchste Punktzahl im Test waren 30 Punkte und trat in Gruppe 1 (also der Gruppe die zusätzlich in einer Lerngruppe lernten) auf. Diese Punktzahl erhält den Rangplatz 1.
  • Die niedrigste Punktzahl im Test waren 12 Punkte und trat in Gruppe 2 (Gruppe die nicht zusätzlich in einer Lerngruppe lernten) auf. Diese Punktzahl erhält den Rangplatz 19.
  • In den U-Test gehen keine Mittelwerte, sondern die Rangplätze ein. Deshalb besagt die Nullhypothese, dass die mittleren Ränge gleich groß sind (in beiden Populationen).

Beispiel:

  • mittlerer Rang Gruppe 1: 30+29+27+26+23+22+21+17+16+13=224/10 = 22,4
  • mittlerer Rang Gruppe 2: 28+25+24+20+19+18+15+14+12 = 175 / 9 = 19,4

 

  • Es zeigt sich demnach ein deutlicher Unterschied in den mittleren Rängen beider Gruppen.
  • Da es sich beim U- Test um einen Signifikanztest handelt, muss als nächstes der p-Wert ermittelt werden.

Berechnung des U-Werts (Summe der Rangplatzüberschreitungen)

  • m = Stichprobengröße Gruppe 1
  • n = Stichprobengröße Gruppe 2
  • Rm = Summe der Rangplätze Gruppe 1
  • Rn = Summe der Rangplätze Gruppe 2

Beispiel:

  • Rm = 10 * 9 + (10 * (10+1)/ 2) - 86 = 59

 

  • Rn = 10 * 9 + (9 * (9+1) / 2) - 104 = 31

Berechnung des U´-Werts (Summe der Rangplatzunterschreitungen)

  • U ´ = n(1) * n(2) - U

 

Beispiel:

  • U´(m) = 10 * 9 - 59 = 31
  • U´ (n) = 10 * 9 - 31 = 59

Interpretation

  • Wenn die Nullhypothese gilt, dann sollten sich die Werte für U und U´ kaum unterscheiden.
  • Ob die Nullhypothese gilt kann berechnet werden anhand folgender Formel:                          (n(1) * n(2)) / 2
  • Beispiel: (10 * 9) / 2 = 45
  • Je weiter U und U´von diesem Wert (in unserem Beispiel 45) abweichen, desto unwahrscheinlicher ist das Ergebnis unserer Stichprobe, wenn die Nullhypothese zutreffen würde.

Berechnung des z-Werts

Beispiel:

 

z = 59 - 45 /  30 = 0,47

 

  • Ob der z-Wert signifikant ist, kann anhand der Standardnormalverteilungs-Tabelle (siehe Statistikbücher) entschieden werden.
  • In unserem Beispiel beträgt der p-Wert = 1- 0,6808 = 0,3192.
  • Somit ist der p-Wert größer als Alpha (=0,05) und das Ergebnis ist nicht signifikant.
  • Demzufolge kann die Nullhypothese nicht zurückgewiesen werden.

Wilcoxon-Test (abhängige Stichproben)

Was prüft der Wilcoxon-Test?

  • Beim Wilcoxon-Test wird eine abhängige Variable bei ein und demselben Proband zu zwei verschiedenen Messzeitpunkten erhoben (oder alternativ in zwei verschiedenen Bedingungen).
  • Beispiel: Psychologie-Studenten werden befragt, wieviele Freundschaften sie zu anderen Psychologie-Studenten im Rahmen ihres Studiums aufbauen. Dazu wird die Anzahl der Freundschaften zu anderen Psychologie-Studenten einmal im ersten Semester und einmal im 5. Semester erhoben.
  • Die Anzahl der Freundschaften wird wahrscheinlich nicht normalverteilt sein, weswegen man den Wilcoxon-Test  durchführt.

 

Durchführung

  • Als erstes bestimmt man die Differenz der Werte (1. Semester, 5. Semester).
  • Anschließend ordnet man den absoluten Differenzbeträgen entsprechende Rangplätze zu.
  • Differenzen die 0 betragen werden nicht berücksichtigt und deshalb ausgeschlossen aus der weiteren Analyse.
Probanden-Nr.
1. Semester
5.Semester Differenz Rangplatz
1
2
4 -2 5 (-)
2
0 2 -2 5 (-)
3 2 1 1 1
4 3 5 -2 5 (-)
5 8 6 2 5
6 5 8 -3 8 (-)
7 7 9 -2 5 (-)
8 4 4 0 -
9 2 6 -4 9 (-)
10 6 8 -2 5 (-)
  • Der Proband mit der geringsten Differenz (Betrag) erhält den Rangplatz 1.
  • Der Differenzbetrag von 2 kommt bei insgesamt 6 Probanden vor, deshalb ordnet man hier den mittleren Rangplatz zu (2+3+4+5+6+7 = 27 / 6 = 4,5 , aufgerundet 5)
  • Der nächst größere Differenzbetrag erhält den Rangplatz 8 usw.
  • Anschließend berechnet man die Summe der Rangplätze der positiven Differenzen (T+) und die Summe der negativen Differenzen (T-).

 

Beispiel:

 

T(+) = 1+5 = 6

T(-) = 5+5+5+8+5+9+5 = 42

  • Der kleine der beiden Werte (T+, T-) wird anschließend als Prüfgröße T verwendet.
  • Den kritischen T-Wert kann man wieder in den Tabellen der Statistik-Bücher ablesen.
  • Ist der beobachtete Wert T größer als der kritische T-Wert, dann ist das Ergebnis nicht signifikant und die Nullhypothese kann nicht zurückgewiesen werden.

Quellen:

 

Sedlmeier, P. & Renkewitz, F. (2008). Forschungsmethoden und Statistik in der Psychologie.München: Pearson Studium.